Soal UNBK 2018 Matematika SMA IPA [Soal dan Pembahasan]

1. Persamaan bayangan garis $y=x+1$ ditransformasikan oleh matriks $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $X$ adalah...
$\left(A\right)x+y-3=0$
$\left(B\right)x-y-3=0$
$\left(C\right)3x+y+3=0$
$\left(D\right)x+3y+1=0$
$\left(E\right)3x+y+1=0$
Pembahasan:

Matriks Transformasi, $T_1:\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$
Matriks Transformasi terhadap sumbu $X$, $T_2:\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

Garis ditransformasikan oleh $T_1$ dilanjutkan $T_2$.
$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$=$M_{T_2}\cdot M_{T_1}\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Jika kurang paham perkalian matriks silahkan pahami di Matematika Dasar: Belajar Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks
$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+2y\\ -y\end{array}\right)$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $y^{\prime }=-y$ maka $y=-y^{\prime }$
• $x^{\prime }=x+2y$ maka $x=x^{\prime }+2y^{\prime }$

Nilai $x$ dan $y$ kita substitusi ke persamaan garis;
$y=x+1$
$-y^{\prime }=x^{\prime }+2y^{\prime }+1$
$y^{\prime }+x^{\prime }+2y^{\prime }+1=0$
$3y^{\prime }+x^{\prime }+1=0$

Persamaan garis adalah $3y^{\prime }+x^{\prime }+1=0$ dengan menghilangkan tanda aksen ${(}^{\prime })$, tanda aksen ${(}^{\prime })$ menyimbolkan bahwa garis adalah hasil transformasi.

Hasil akhir $3y+x+1=0$ pada soal pilihannya adalah $\left(D\right)$ 


2. Salah satu akar persamaan kuadrat $x^2-(k+1)x+8=0$ dua kali akar lainnya, nilai $k$yang memenuhi adalah...
$\left(A\right)5atau7$
$\left(B\right)5atau-5$
$\left(C\right)-5atau7$
$\left(D\right)5atau-7$
$\left(E\right)-5atau-7$
Pembahasan:
Akar-akar PK $x^2-(k+1)x+8=0$ kita misalkan $x_1$ dan $x_2$.
$x_1=2x_2$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$
$x_1\cdot x_2=8$
$2x_2\cdot x_2=8$
$2x_2^2=8$
$x_2^2=4$
$x_2=\pm \sqrt{4}$
$x_2=-2$ dan $x_1=-4$
$x_2=2$ dan $x_1=4$ 

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1+x_2=k+1$
$-4+-2=k+1$ maka $k=-7$

$x_1+x_2=k+1$
$4+2=k+1$ maka $k=5$

Hasil akhir nilai $k=5$ atau $k=-7$ pada soal pilihannya adalah $\left(D\right)$


3. Nilai dari ${\left(\frac{{}^2\text{log}3\cdot {}^9\text{log}16+{}^2\text{log}8}{{}^3\text{log}81-{}^3\text{log}9}\right)}^2=\cdots$
$\left(A\right)7$
$\left(B\right)\frac{25}{4}$
$\left(C\right)\frac{49}{16}$
$\left(D\right)\frac{5}{2}$
$\left(E\right)\frac{7}{4}$


4. Diketahui persamaan matriks:
$\left(\begin{array}{cc}2a& 7\\ -2& c\end{array}\right)$+$\left(\begin{array}{cc}7& 2c\\ 7& -4\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -5\end{array}\right)$. Nilai $(a-c)$ adalah... 
$\left(A\right)-9$
$\left(B\right)-5$
$\left(C\right)-2$
$\left(D\right)5$
$\left(E\right)9$
Pembahasan:

$\left(\begin{array}{cc}2a& 7\\ -2& c\end{array}\right)$+$\left(\begin{array}{cc}7& 2c\\ 7& -4\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -5\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}2a+7& 7+2c\\ -2+7& c-4\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ 5& -11\end{array}\right)$

dari kesamaan dua matriks diatas kita peroleh;

• $2a+7=3$ maka $a=-2$
• $c-4=-11$ maka $c=-7$

Hasil akhir $a-c=-2-(-7)=5$ pada soal pilihannya adalah (D)


5. Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua $8$, suku keempat $14$, dan suku terakhir $23$. Jumlah semua suku barisan tersebut adalah...
$\left(A\right)56$
$\left(B\right)77$
$\left(C\right)98$
$\left(D\right)105$
$\left(E\right)112$
Pembahasan:
Pada Barisan Aritmatika diketahui;
Suku ke-n: $U_n=a+(n-1)b$
Jumlah $n$ suku pertama $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1\left)b\right)$
Jumlah $n$ suku pertama $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$

$U_2=8$ maka $a+b=8$ ... pers. $\left(1\right)$
$U_4=14$ maka $a+3b=14$ ... pers. $\left(2\right)$

Dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$ jika kita kurangkan akan kita peroleh nilai $a=5$ dan $b=3$.
$U_n=a+(n-1)b$
$23=5+(n-1)3$
$23=5+3n-3$
$21=3n$
$7=n$

Jumlah $n$ suku pertama $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$
Jumlah $7$ suku pertama $S_7=\frac{7}{2}(5+23)$
$S_7=\frac{7}{2}\left(28\right)$
$S_7=98$

Hasil akhir $98$ pada soal pilihannya adalah $\left(C\right)$


6. Turunan pertama dari $f\left(x\right)=si{n}^4(3x^2-4)$ adalah...
$\left(A\right)f^{\prime }\left(x\right)=2si{n}^2(3x-4)sin(6x^2-4)$
$\left(B\right)f^{\prime }\left(x\right)=12xsi{n}^2(3x^2-4)sin(6x^2-4)$
$\left(C\right)f^{\prime }\left(x\right)=12xsi{n}^2(3x^2-4)cos(6x^2-4)$
$\left(D\right)f^{\prime }\left(x\right)=12xsi{n}^2(3x^2-4)sin(6x^2-8)$
$\left(E\right)f^{\prime }\left(x\right)=24xsi{n}^3(3x^2-4)sin(3x^2-4)$
Pembahasan:
$f\left(x\right)=si{n}^4(3x^2-4)$
Untuk mencari turunan fungsi $f$ terhadapa variabel $x$ kita coba gunakan menggunakan komposisi turunan, yaitu;
$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

$f=si{n}^4(3x^2-4)$
Misal: $u=3x^2-4$
$\frac{du}{dx}=6x$ 

$f=si{n}^{4}u$
Misal: $v=sinu$
$\frac{dv}{du}=cosu$

$f=v^4$
$\frac{df}{dv}=4v^3$

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}$
$\frac{df}{dx}=4v^3\cdot cosu\cdot 6x$
$\frac{df}{dx}=4(sinu{)}^3\cdot cos(3x^2-4)\cdot 6x$
$\frac{df}{dx}=4si{n}^3(3x^2-4)\cdot cos(3x^2-4)\cdot 6x$
$\frac{df}{dx}=24xsi{n}^3(3x^2-4)cos(3x^2-4)$

$\frac{df}{dx}=12xsi{n}^2(3x^2-4)2sin(3x^2-4)cos(3x^2-4)$
$\frac{df}{dx}=12xsi{n}^2(3x^2-4)sin2(3x^2-4)$
$\frac{df}{dx}=12xsi{n}^2(3x^2-4)sin(6x^2-8)$

Hasil akhir $\frac{df}{dx}=12xsi{n}^2(3x^2-4)sin(6x^2-8)$ pada soal pilihannya adalah $\left(D\right)$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on Google+

Share on LinkedIn

Subscribe to receive free email updates: